Package 'math.m'

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Site Macformath.net "Macformath"

Macformath

Button["Macformath",Macformath]

Couleur par défaut

La couleur par défaut des curbes, droites et points est  bleu foncé (Darker[Blue])

CouleurparDefaut

Autres options:

Darker[Red];Darker[Green];

Taille par défaut

Taille[e]

Autres options

Large  ▪  Small  ▪  Tiny  ▪

Points

Définition

PA=Pt[2,-1]

Nommer et associer une couleur à un point

Couleur[PA]=Darker[Red]

Nom[PA]="A"

Présentation

Presente[PA]

Définition complète en une seule commande: Pt[x,y,"nom",couleur]

PB=Pt[-1,3,"B",Darker[Green]]

Presente[PB]

Opérations sur les points

Addition

PA+PB

Multiple

3 PA

Produit scalaire (le symbole utilisé est le point .)

Dot[PA,PB]

PA.PB

Equations paramétriques d'une droite

Pt[x,2-x]

Milieu

Milieu[PA,PB]

Norme

\[LeftDoubleBracketingBar]PA\[RightDoubleBracketingBar]

Norme[PA]

Norme["AB"]

Norme["B"]

Norme[Pt[m,2m-1]]

Normes sur (ℝ^2)

Norme[Pt[m,2m-1],2]

Format[Norme[x_Symbol,n_]]:=StringForm["| `1` \!\(\*SubscriptBox[\"|\", \"`2`\"]\)",x,n]

Norme[u,2]

Norme[PA,1]

Norme[PA,∞]

Abscisse et ordonnée

Abscisse[PA]

Ordonnee[PA]

Cadre de représentation d'un graphique

Valeurs par défaut

cadrex

cadrey

Plan Cartésien

PlanCartesien

Graphique d'un point

PA=Pt[2,-1]

Graphe[PA]

Affichages possibles

Graphe[{PA,1}]

Graphe[{PA,2}]

Graphe[{PA,0}]

Changement de taille

Taille[PA]=Large;
Graphe[PA]

Plusieurs points

PB=Pt[1,3,"B"]

Graphe[{PA,PB}]

Noir et Blanc

pa=Pt[2,3];
Couleur[pa]=White;
Graphe[pa]

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Droites

Définition

d=Droite[y==2x+1]

Définition + nom et couleur

d1=Droite[y==x-3,"(Subscript[d, 1])",Darker[Green]]

Présentation

Presente[d1]

Définition à partir de deux points

PA=Pt[2,-1,"A"];
PB=Pt[-3,1,"B"];
AB=Droite[PA,PB]

Presente[AB]

Forme de l'équation

d3=Droite[2x==5-y,"(Subscript[d, 3])"]

d3//FormeFonction

d3=FormeFonction[d3]

Presente[d3]

d3//FormeCanonique

Graphe de droites

Représentation graphique d'une droite

d=Droite[y==3x-1]

Par défaut, le trait est continu (Trait = 0)

Trait[d]=0

Graphe[d]

d2=Droite[y==-3,"(Subscript[d, 2])"]

Graphe[d2]

d3=Droite[x==2];
Graphe[d3]

d4=Droite[2x-y==4]

Graphe[d4]

Axes fléchés

Il est possible de rajouter des flèches aux axes avec la commande Axesfleches

Graphe[d]//Axesfleches

Changement de taille

d=Droite[y==3-5x/2];
Taille[d]=Large;
Graphe[d]

Trait en tirets

Trait[d]=1

Graphe[d]

Trait en pointillés

Trait[d]=2

Graphe[d]

Trait en tiret-point

Trait[d]=3

Graphe[d]

Plusieurs droites

Graphe[{d, Droite[y == 1 + 3*x, "d", 
    Darker[Green]]}]

Axes fléchés

Axesfleches[Graphe[{d,d2}]]

Opérations sur les droites

Pente

d1=Droite[2x+3y==5]

Pente[d1]

Forme canonique

pa=Pt[2,-5];pb=Pt[-1,3];
d2=Droite[pa,pb]

FormeCanonique[d2]

Systèmes d'équations

Définition du système

d1=Droite[2x+3y==5];pa=Pt[2,-5];pb=Pt[-1,3];
d2=FormeCanonique[Droite[pa,pb]];
sys=Systeme[d1,d2]

Résolution

Resoudre[sys]

Dessin

Couleur[d1]=Darker[Green];Graphe[sys]

Système impossible

Resoudre[Systeme[Droite[2x-y==3],Droite[4x-2y==5]]]

Système indéterminé

Resoudre[Systeme[Droite[2x-y==3],Droite[4x-2y==6]]]

Intersection entre deux droites

d1=Droite[2x+3y==5];pa=Pt[2,-5];pb=Pt[-1,3];
d2=FormeCanonique[Droite[pa,pb]];
d1 ⋂ d2

Appartenance d'un point à une droite

Tester l'appartenance

d1=Droite[2x+3y==5];pa=Pt[2,-5];pb=Pt[-2,3];
pa∈ d1

pb∈d1

Condition d'appartenance

pc=Pt[1,-k,"C"]

pc∈d1

Parallélisme

Tester le parallélisme

d1=Droite[2x+3y==5];pa=Pt[2,-5];pb=Pt[-1,3];
d2=FormeCanonique[Droite[pa,pb]];ParalleleQ[d1,d2]

d1=Droite[2x+3y==5];
d2=Droite[2x+ k y==3];
ParalleleQ[d1,d2]

Droite parallèle

d1=Droite[2x+3y==5,"(Subscript[d, 1])",Darker[Blue]];pc=Pt[1,-1,"C",Darker[Red]]

Graphe[{d1,pc}]

dc=Parallele[d1,pc]

Si une couleur est associée au point, elle est attribuée à la droite parallèle:

Graphe[{d1,dc,pc}]

d3=Parallele[d1,Pt[1,1]]

Nom[d3]

Perpendicularité

Tester la perpendicularité

d1=Droite[2x+3y==5];pa=Pt[2,-5];pb=Pt[-1,3];
d2=FormeCanonique[Droite[pa,pb]];PerpendiculaireQ[d1,d2]

d1=Droite[2x+3y==5];
d2=Droite[2x+ k y==3];
PerpendiculaireQ[d1,d2]

Droite perpendiculaire

d1=Droite[2x+3y==5,"(Subscript[d, 1])",Darker[Blue]];
pc=Pt[1,-1,"C",Darker[Red]];
dc=Perpendiculaire[d1,pc]

Graphe[{d1,dc,pc}]

Segment de droite

Segment défini par deux points

PA=Pt[2,-1,"A"];
PB=Pt[1,3,"B"];
ab=Segment[PA,PB]

Norme du segment

Norme[ab]

Epaisseur du trait

Taille[ab]=Large

Représentation graphique

Graphe[ab]

Graphe[{ab,PA,PB}]

Fontions trigonométriques

{Tan[x],Sin[x]^2,Cos[x]^3}

{(Sqrt[ArcSin[x]]),1/ArcCos[x]^3,(Sqrt[ArcTan[x]^3])}

Fonctions logarithmes

Num

Num[a] donne une approximation de a si l'expression fournie par Mathematica est trop compliquée

Num[Root[((#1)^3)-3 ((#1)^2)+#1+4&,1]]

Num[(Sqrt[2+3(Sqrt[7])])+(Sqrt[1+2(Sqrt[5])])]

Ensembles de réels

Définition

Ensemble[x>5,x]

Ici, la variable est spécifiée et donc peut être autre que x

La fonction Ensemble utilise la fonction Reduce de Mathematica. Il est donc possible de résoudre des (in)équations:

Ensemble[t^2>5,t]

Ensemble[u^2/(1-u)≥2u,u]

Pour le moment, Ensemble ne traite pas les paramètres (à ajouter..?)

Ensemble[(m+1)x^2-3m x>0,x]

Intervalles de réels

Les intervalles peuvent être définis plus simplement à partir de la fonction Ens

Ens[-5<x≤2,x]

Attention, Ens ne résout pas les (in)équations!

Ens[x^2≤2,x]

Alors qu'Ensemble, oui

Ensemble[-5<x^2≤2,x]

Opérations sur les ensembles de réels

Définir un sous-ensemble de ℝ

Définissons deux ensembles A et B à partir de conditions sur la variable réelle x

𝒜=Ensemble[x>1/2,x]

Le symbole OU est entré à l'aide des touches  EscorEsc

ℬ=Ensemble[x<-2 ∨ x>=2,x]

Il est possible de recherche la solution d'une (in)équation avec la fonction Ensemble

𝒞= Ensemble[x^2-3x<=4,x]

𝒟= Ensemble[x^2-3x==4,x]

Opérations sur les ensembles

Union

Recherche de l'union de deux ensembles. Le caractère ⋃ est entré sous la forme EscunEsc

𝒜 ⋃ ℬ

Intersection

Recherche de l'intersection de deux ensembles. Le caractère ⋂ est entré sous la forme EscinterEsc

𝒜 ⋂ ℬ

Il est possible de faire l'union ou l'intersection de plusieurs ensembles

𝒜 ⋂ ℬ ⋂ 𝒞

Soustraction

Entrez le "moins" ensembliste par les touches Esc\Esc

𝒜 ∖ ℬ

ℬ ∖ 𝒜

Appartenance

Il est possible de vérifier l'appartenance d'un réel à un ensemble.
Le caractère ∈ est entré sous la forme EscelemEsc

5 ∈ 𝒜

-2∈ 𝒜

Représentation de sous-ensembles de ℝ

Représentation de la droite réelle

ℝ=Ens[True,x]

Graphe[ℝ]

Axe des abscisses

Graphe[Ens[y==0,x]]

Axe des ordonnées

Graphe[Ens[x==0,x]]

Représentation d'un intervalle

Reprenons l'ensemble 𝒜 défini plus haut:

𝒜=Ensemble[x>1/2,x]

Graphe[𝒜]

L'intervalle par défaut est [-5 , 5]. Il est possible de modifier ces valeurs en modifiant la variable cadrex.
Par défaut, cadrex = {-5,5}.

cadrex

Changeons l'intervalle de dessin en [-2,2]

cadrex={-2,2};Graphe[𝒜]

Définissons un nouvel ensemble 𝒟

𝒟 = Ensemble[ x<=2 ∨ x ==5,x]

Le cadre défini plus haut reste valable mais comme la valeur 5 n'en fait pas partie, l'affichage est modifié pour afficher cette valeur.

Graphe[𝒟]

Demandons le graphe de l'intersection

Graphe[𝒜 ⋂ 𝒟]

Tous les graphiques sont éditables par un double-clic. Mathematica contient quelques outils de retouche graphique (menu Graphics).
Le graphique peut être copier au format PDF en le sélectionnant puis en faisant un clic droit - Copy as - PDF

Il est également possible de donner une équation ou inéquation comme argument à la fonction Ensemble

ℰ = Ensemble[x^2-4>0,x]

Graphe[ℰ]

Représentation d'un ensemble d'ordonnées

𝒜=Ens[-1<y≤2,y]

Graphe[𝒜]

Graphe[Ens[y==-1,y]]

Fonction logarithme

Log est le logarithme népérien dans Mathematica.

Log est noté ln en Output

Log[x]

Log[x]^3

Log en base 10, a,...

Log[10,x]+Log[2,x]

Mathematica rend difficile d'entrer un énoncé avec le log décimal ou un log de base différente puisqu'il est immédiatement transformé en ln...
Une manière de faire est d'utiliser HoldForm qui n'évalue pas son argument:

eq=HoldForm[Log[10,x]-2Log[2,x]==1]

C'est la manière la plus avantageuse puisqu'elle permet d'évaluer l'expression rentrée:

Ensemble[eq,x]

On peut aussi utiliser la fonction log[a,x] qui n'est pas évaluée. Elle sert donc exclusivement à l'affichage.

log[10,x]^2+log[2,x]^3

1/log[3,x]

eq=log[10,2x+1]>1

logToLog permet de remplacer log par Log et donc d'évaluer les expressions

a=log[7,49]

a/.logToLog

reglelog est automatiquement utilisé par certaines fonctions comme Ensemble

Ensemble[eq,x]

Racines carrées

1/(Sqrt[2])

1/(Sqrt[2])/.regleracine

Graphe d'une fonction quelconque

p=Ens[y==x^2-1,x];Graphe[Ens[y==x^2-1,x]]

cadrey={-2,5};Couleur[p]=Darker[Red];Graphe[p]

Trait[p]=1;Taille[p]=Large;Graphe[p]

Graphique d'un ensemble quelconque

Graphe[Ens[x-2==x^2-4,x]]

Graphe[Ens[x^2-y^2==4,x]]

Plusieurs courbes sur le même graphique

parabole=Ens[y==x^2-4,x];Couleur [parabole]=Darker[Red];Taille[parabole]=Large;(*or Small or Medium by default*)
cadrex={-4,4};cadrey={-4,4};
g1=Graphe[parabole];g2=Graphe[Ens[x^2-y^2==1,x]];
Show[g2,g1]

Polynômes

Degré

pol=x^6-5x^4+3x^2-5x+6

Degre[pol,x]

Degre[1/x-2/(Sqrt[x]),x]

PolynomeQ[1/x-2/(Sqrt[x]),x]

Degre[(Sqrt[(x^2)-5x+6]),x]

Division par la méthode de Hörner

pol=x^6-5x^4+3x^2-5x+6;
Horner[pol,x,1]

Factorisation

La fonction Factor est une fonction de Mathématica

Factor[pol]

Création aléatoire de fonctions

Expazero

Expazero[x,a,type] crée une expression de type donné s'annulant en a de manière aléatoire

Type 1: 1er degré

Expazero[x,-2,1]

Type 2: 2nd degré

Expazero[x,-2,2]

Type 3: Polynôme de degré 3

Expazero[x,-2,3]

Type 4: (Sqrt[1er degré])

Expazero[x,-2,4]

Type 5: (Sqrt[2nd degré])

Expazero[x,3,5]

Type 6: a ± (Sqrt[1er degré])

Expazero[x,-1,6]

Type 7: (Sqrt[1er degré])±(Sqrt[1er degré])

Expazero[x,-2,7]

Type 8: 1er degré±(Sqrt[1er degré])

Expazero[x,-2,8]

Type 9: a x±(Sqrt[2nd degré])

Expazero[x,-2,9]

Type 10: 1er degré±(Sqrt[2nd degré])

Expazero[x,-2,10]

Type 11: (Sqrt[2nd degré])±(Sqrt[2nd degré])

Expazero[x,-2,11]

Exemples

f=Expazero[x,2,2]/Expazero[x,-1/3,1]