Notions de base sur les fonctions

1. Domaine de définition

Définition : soit f, une fonction réelle

dom f = {x ∈ R : f(x) ∈ R }

Déterminer le domaine de définition, c'est trouver les réels x qui ont une image par f, c'est-à-dire pour lesquels on sait calculer f(x)
(pour lesquels f(x) est un réel).

Pour cela, il suffit de résoudre les conditions d'existence.
Les 2 types de conditions rencontrées en ce début de cours correspondent à deux opérations impossibles dans les réels:

- La division par 0
Dans R, il est impossible de diviser par 0. Peux-tu expliquer pourquoi?
Calculer le quotient est effectivement impossible dans l'ensemble des réels.
Donc, si une fonction comporte un dénominateur, il faut que ce dernier soit différent de 0.

exemple:    f(x) =
    CE:     c'est-à-dire   x ≠ 1 et x ≠ -
    le domaine est donc
    Dom f = R \ {- , 1}
    

- La racine carrée d'un nombre négatif
Dans R, il est impossible de calculer la racine d'un nombre négatif. Peux-tu expliquer pourquoi?
Calculer par exemple est impossible dans l'ensemble des réels.
Donc, si une fonction comporte une racine carrée, il faut que le radicand (l'expression sous la racine) soit positif.

exemple:    f(x) =
    CE:  5-7x ≥ 0   c'est-à-dire   x ≤
    le domaine est donc
    Dom f = ← , ]
    

Si la racine carrée se trouve être également le dénominateur, alors le radicant doit être à la fois différent de 0 et positif, donc strictement positif.

exemple:    f(x) =
    CE:  2x+ 6 > 0   c'est-à-dire   x > -3

    le domaine est donc
    Dom f = ] -3,→
        

D'une manière plus générale, si l'on considère une racine nième   où n est un naturel >1 et  un réel quelconque,
    - si n est pair , est un réel si f ≥ 0
    - si n est impair , est un réel quel que soit le réel f

Exercices - Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes (exercices supplémentaires)

Exercices supplémentaires